说明原函数连续，因为一个函数 F(x) 在区间上可导,则 F(x) 必在该区间上连续,而不用管导函数是否分段连续并且有界.
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匿名回答于2021-07-23 07:50:02
f'(x) 在 [a,b] 有界是 f(x) 在 [a,b] 有界的充分非必要条件。
利用 Lagrange 中值定理，有
f(x)-f(a) = f'[a+θ(x-a)](x-a)，0<θ<x，
由 f'(x) 在 [a,b] 的有界性可得 f(x) 在 [a,b] 的有界性。反之，由 f(x) 在 [a,b] 的有界，并不能导致 f'(x) 在 [a,b] 的存在性，更不用说 f'(x) 在 [a,b] 的有界性。
例如，函数f(x) = sin(1/x)，x≠0，
= 0，x=0，
在 包含 0 的任何闭区间 [a,b] 是有界的，但 f(x) 在 x=0 不可导。
函数有界性的判断：
1、理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。
2、计算法：切分(a,b)内连续
limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在 则f(x)在定义域[a,b]内有界。
3、运算规则判定：在边界极限不存在时
有界函数 ±± 有界函数 = 有界函数 （有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态）有界 x 有界 = 有界。
匿名回答于2021-07-25 06:51:23
