a^b=c，已知a和c，求b就是对数。
也可以说以a为底b的对数就是指a的几次方等于b。
对数为乘方的另一个逆运算。和开方不同的是，对数是求指数，开方是求底数。因为乘方没有交换律，所以乘方也就有两个逆运算。一个是开方，另一个就是对数了。
对数的性质：
a^loga(b)=b，loga(b^n)=nloga(b)。
logn(ab)=logn(a)+logn(b)。
logn(1)=0,logn(n)=1。
可以看见，对数对乘除乘开方有对运算降级的能力。
还有，对数的底数真数都要求大于0。并且底数不等于1。否则对数就没有意义了。
另外，负数也是有对数的，只不过它是虚数，有欧拉公式e^iπ=-1，所以负数有对数。
对数可以用来简化运算，比如算无理数次乘方或者两个大数相乘，一个数的多次方等等的运算……用对数就可以估计出它们的约值。
由于对数增长率较慢，因为2的100次方就已经用几十位数了，而这个大数以2为底后，就变成100了。所以对数有对数字缩放的能力，多数的天文数字也经不过对数的缩放。但是，如果数字太大了，对数的缩放就根本没用了。因为对数只是第三级运算，只能缩放乘方级别的大数。并不是所有的数字都经不起对数的缩放。以上提到的一亿，以10为底就变成8了。但是，一亿在大数面前，还真是像个0一样。一亿还很小呢。我们提到第三级运算，但是如果是第四级运算，第五级运算，那对数的缩放对它们根本没有影响。比如3↑↑↑3，它是两个3进行五级运算，等于3↑↑3↑↑3=3↑↑7625597484987=3^3^3^3^……^3，它是几万亿个3的幂塔。对数就仅仅只能去掉幂塔中的一个指数。而它有几万亿个3的乘方，所以对数对3↑↑↑3根本毫无影响。不过，它几万亿次对数就能缩放了吗？不过，如果是3↑↑↑4，那对数，就完全不能把它缩放。那3↑↑↑4就已经大到用天文数字都无法形容了。
但是，实际上生活中应用的天文数字都相对比较小，所以缩放数字用对数就够了。对数的缩放并不万能，如果遇上大到特别大的数字(比如3↑↑↑4等等的)，对数的缩放也就毫无为力了。
对数主要是可以用来简化加减乘除乘方开方运算。也可以用来处理天文数字或者非常小的数字。
匿名回答于2024-05-09 06:18:27
