泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!??(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!??(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!??(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!??(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）
匿名回答于2021-02-15 06:23:55
由来：
f(x)在点x0处有n阶导数，我们尝试用n次多项式Pn(x)近似代替f(x)
Pn(x0)=f(x0)
Pn'(x0)=f'(x0)
Pn"(x0)=f"(x0)
......
Pn(n)(x0)=f(n)(x0) 这里表示n阶导数
于是就可以得出
Pn=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+1/2!f"(x0)(x-x0)²+...+1/n!f(n)(x0)(x-x0)^n
也就是说
在x0点出， Pn的i阶导数值等于f(x)的i阶导数值..i≤n
则称Pn(x)为f(x)的泰勒多项式，在x0点处近似表示f(x)
定理：
f(x)在点x0处有n阶导数,则在x0处附近f(x)可以表示为
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+1/2!f"(x0)(x-x0)²+...+1/n!f(n)(x0)(x-x0)^n+ Rn(x)
其中Rn(x)=o((x-x0)^n),也就是(x-x0)^n的高阶无穷小，
我们称上式为f(x)在x0处得泰勒展开公式
理解：
泰勒公式就是取一个基点，然后再一定范围里面近似表示f(x)的一种方法
比如上式就是在基点x0处，范围为△x=x-x0里面近似表示f(x)
故上式代入△x=x-x0得到
f(x)=f(x0)+f'(x0)△x+1/2!f"(x0)△x²+...+1/n!f(n)(x0)△x^n+ o(△x^n)
特别地，当x0=0时，我们称上式为迈克劳林公式..
f(x)=f(0)+f'(0)x+1/2!f"(0)x²+...+1/n!f(n)(0)x^n+ o(x^n)
匿名回答于2021-10-06 19:10:51
