定义2：对于收敛的迭代法x k + 1 = φ ( x k ) , ( k = 1 , 2 , ⋯ ) x_{k+1}=\varphi(x_k),(k=1,2,\cdots)xk+1=φ(xk),(k=1,2,⋯)，如果存在常数p ≥ 1 , c > 0 p\geq 1,c>0p≥1,c>0，使得
l i m k → ∞ e k + 1 e k p = C lim_{k\to\infty}\frac{e_{k+1}}{e^p_k}=Climk→∞ekpek+1=C
成立（其中e k = ∣ x k − x ∗ ∣ e_k=|x_k-x^*|ek=∣xk−x∗∣），则称该迭代法时p阶（次）收敛的。特别地，当p = 1 p=1p=1时称为线性收敛，p = 2 p=2p=2时称为平方收敛。
例2：讨论一般迭代法x k + 1 = φ ( x k ) , ( k = 1 , 2 , ⋯ ) x_{k+1}=\varphi(x_k),(k=1,2,\cdots)xk+1=φ(xk),(k=1,2,⋯)的收敛速度。
解：令x ∗ = φ ( x ∗ ) x^*=\varphi(x^*)x∗=φ(x∗)，所以x k + 1 − x ∗ = φ ( x k ) − φ ( x ∗ ) x_{k+1}-x^*=\varphi(x_k)-\varphi(x^*)xk+1−x∗=φ(xk)−φ(x∗)。根据中值定理，有
x k + 1 − x ∗ = φ ( x k ) − φ ( x ∗ ) = φ ′ ( ξ ) ( x k − x ∗ ) x_{k+1}-x^*=\varphi(x_k)-\varphi(x^*)=\varphi'(\xi)(x_k-x^*)xk+1−x∗=φ(xk)−φ(x∗)=φ′(ξ)(xk−x∗)
ξ \xiξ为x k x_kxk与x ∗ x^*x∗之间的某一点。
因为e k + 1 = x x + 1 − x ∗ , e k = x k − x ∗ e_{k+1}=x_{x+1}-x^*,e_k=x_k-x^*ek+1=xx+1−x∗,ek=xk−x∗，所以当x k x_kxk在根x ∗ x^*x∗附近时，有e k + 1 = φ ′ ( x ∗ ) e k e_{k+1}=\varphi'(x^*)e_kek+1=φ′(x∗)ek。
可见，当φ ( x ∗ ) ≠ 0 \varphi(x^*)\neq 0φ(x∗)=0时，一般迭代法x k + 1 = φ ( x k ) , ( k = 1 , 2 , ⋯ ) x_{k+1}=\varphi(x_k),(k=1,2,\cdots)xk+1=φ(xk),(k=1,2,⋯)，具有线性收敛性。
定理3：对于迭代过程x k + 1 = φ ( x k ) x_{k+1}=\varphi(x_k)xk+1=φ(xk)，如果迭代函数φ ( x ) \varphi(x)φ(x)在所求根x ∗ x^*x∗的邻近有连续二阶导数，且∣ φ ′ ( x ∗ ) < 1 ∣ |\varphi'(x^*)<1|∣φ′(x∗)<1∣，则有：
（1）当φ ′ ( x ∗ ) ≠ 0 \varphi'(x^*)\neq 0φ′(x∗)=0时，迭代过程为线性收敛；
（2）当φ ′ ( x ∗ ) = 0 \varphi'(x^*)=0φ′(x∗)=0，而φ ′ ′ ( x ∗ ) ≠ 0 \varphi''(x^*)\neq 0φ′′(x∗)=0时，迭代过程为平方收敛。
一般迭代法的收敛速度还可以是p阶收敛的。设φ ( x ) \varphi(x)φ(x)在x = φ ( x ) x=\varphi(x)x=φ(x)的根x ∗ x^*x∗附近有连续的p阶导数，且φ ′ ( x ∗ ) = φ ′ ′ ( x ∗ ) = ⋯ = φ ( p − 1 ) ( x ∗ ) = 0 , φ ( p ) ( x ∗ ) ≠ 0 \varphi'(x^*)=\varphi''(x^*)=\cdots=\varphi^{(p-1)}(x^*)=0,\varphi^{(p)}(x^*)\neq 0φ′(x∗)=φ′′(x∗)=⋯=φ(p−1)(x∗)=0,φ(p)(x∗)=0，则迭代过程x k + 1 = φ ( x k ) x_{k+1}=\varphi(x_k)xk+1=φ(xk)是p阶收敛的。
在用迭代法求解方程的根时，可以先判断迭代函数的收敛速度，然后再具体计算。
2. 收敛过程的加速
一个收敛的迭代过程，只要迭代次数足够多，就可以使计算结果达到任意指定的精度。但是，如果收敛过程过于缓慢、计算工作量过大，则在实际计算过程往往要考虑加速收敛过程的问题
匿名回答于2021-04-24 00:35:27
