如何求一次同余式的解？

若有形如 $ax \equiv b \pmod{m}$ 的一次同余式，要求它的解，需要按以下步骤进行：

1. 首先，如果 $\gcd(a,m) \nmid b$，那么这个同余式无解。因此，需要先检查 $\gcd(a,m)$ 是否整除 $b$。

2. 记 $d = \gcd(a,m)$，$a' = \dfrac{a}{d}$，$m' = \dfrac{m}{d}$，$b' = \dfrac{b}{d}$。把原来的同余式化为 $a'x \equiv b' \pmod{m'}$。由于 $\gcd(a',m') = 1$，因此这个同余式可以转化为 $a'x \equiv 1 \pmod{m'}$。

3. 确定 $a'$ 的逆元 $a'^{-1}$ 模 $m'$。可以用扩展欧几里得算法求解，即求解 $a'x + m'y = 1$ 的一组整数解 $(x,y)$，然后取 $a'^{-1} \equiv x \pmod{m'}$。如果 $\gcd(a',m') \neq 1$，则 $a'$ 没有逆元，同余式无解。

4. 解得 $x \equiv a'^{-1}b' \pmod{m'}$ 是同余式的一个解。

5. 由于原来的同余式是 $ax \equiv b \pmod{m}$，因此可以用 $x \equiv a'^{-1}b' + km'$ 这个形式表示同余式的全部解，其中 $k$ 是整数。

匿名回答于2023-01-01 23:54:43

1 一次同余式方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b、m为整数，且m≠0。
2 解这个方程的前提是a和m互质，否则解可能不存在或者不唯一。
解法如下：
将方程变形为ax + my = b，用扩展欧几里得算法求出一组整数解x0和y0，然后通解为x ≡ x0 (mod m/d)，其中d为a和m的最大公约数。
3 一次同余式方程是模运算的基础，常用于密码学和计算机科学中。

匿名回答于2023-01-02 01:01:49