$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$
其中，$\mu$ 是分布的均值，$\sigma$ 是标准差。
要计算正态分布的概率，可以使用标准正态分布表或计算器。标准正态分布是指均值为 $0$，标准差为 $1$ 的正态分布。如果需要计算其他均值和标准差的正态分布，可以通过标准化变量来转化为标准正态分布。
标准化变量的计算公式为：
$$ z = \frac{x - \mu}{\sigma} $$
其中，$z$ 是标准化变量，$x$ 是原始变量，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。
例如，要计算 $X \sim N(3,2)$ 在 $x=5$ 处的概率，可以先将 $X$ 转化为标准正态分布变量 $Z$，即：
$$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{5 - 3}{2} = 1 $$
然后，在标准正态分布表或计算器中查找 $Z=1$ 对应的概率，即为 $0.8413$。因此，$X=5$ 的概率为：
$$ P(X=5) = P(Z=1) = 0.8413 $$
如果需要计算 $X$ 在某个区间的概率，可以先将区间转化为标准化区间，然后使用标准正态分布表或计算器计算概率。例如，要计算 $X \sim N(3,2)$ 在 $x \in [1,5]$ 区间内的概率，可以先将区间转化为标准化区间：
$$ \frac{1-3}{2} \leq \frac{X-3}{2} \leq \frac{5-3}{2} $$
即，
$$ -1 \leq Z \leq 1 $$
然后，在标准正态分布表或计算器中查找 $Z=-1$ 和 $Z=1$ 对应的概率，分别为 $0.1587$ 和 $0.8413$，因此，$X \in [1,5]$ 的概率为：
$$ P(1 \leq X \leq 5) = P(-1 \leq Z \leq 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 $$
匿名回答于2024-05-22 00:52:05
匿名回答于2024-05-15 01:34:48
