定理
如果 是一个单调的实数序列（例如 ），则这个序列具有极限（如果我们把正无穷大和负无穷大也算作极限的话）。这个极限是有限的，当且仅当序列是有界的。
证明
我们证明如果递增序列有上界，则它是收敛的，且它的极限为。
由于非空且有上界，因此根据实数的最小上界公理，存在，且是有限的。现在，对于每一个，都存在一个，使得 ，否则是的一个上界，这与c为最小上界 的事实矛盾。于是，由于是递增的，对于所有的，都有，因此根据定义，的极限为。证毕。
类似地，如果一个实数序列是递减且有下界，则它的最大下界就是它的极限。
匿名回答于2024-05-23 16:28:38
